ชุดที่ 1: ข้อ 1 - 10
โจทย์: ให้ a เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ a และ 24 เท่ากับ 6 และ 360 ตามลำดับ แล้ว a เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 4. 90
ใช้สูตรความสัมพันธ์ทันที:
\( (จำนวนที่ 1) \times (จำนวนที่ 2) = ห.ร.ม. \times ค.ร.น. \)
จากคุณสมบัติของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เรามีสูตรว่า:
\( a \times b = \text{ห.ร.ม.}(a, b) \times \text{ค.ร.น.}(a, b) \)
แทนค่าจากโจทย์:
\( a \times 24 = 6 \times 360 \)
แก้สมการหาค่า a:
\( a = \frac{6 \times 360}{24} = \frac{2160}{24} \)
\( a = 90 \)
โจทย์: กำหนดให้ \(i^2 = -1\), \( (\frac{1+i}{2} - \frac{1}{1+i})^3 \) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 3. -i
จัดรูปเทอมที่สองก่อน \( \frac{1}{1+i} = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2} \). จากนั้นการคำนวณในวงเล็บจะง่ายขึ้นมาก
1. จัดรูปเทอม \( \frac{1}{1+i} \) โดยการคูณด้วยสังยุค (conjugate):
\( \frac{1}{1+i} = \frac{1}{1+i} \times \frac{1-i}{1-i} = \frac{1-i}{1^2 - i^2} = \frac{1-i}{1 - (-1)} = \frac{1-i}{2} \)
2. แทนค่ากลับเข้าไปในวงเล็บ:
\( \frac{1+i}{2} - \frac{1-i}{2} = \frac{(1+i) - (1-i)}{2} = \frac{1+i-1+i}{2} = \frac{2i}{2} = i \)
3. ยกกำลังสาม:
\( (i)^3 = i^2 \times i = (-1) \times i = -i \)
โจทย์: \( \cos^4(\frac{5\pi}{12}) - \sin^4(\frac{5\pi}{12}) \) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 1. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ใช้เอกลักษณ์ผลต่างกำลังสอง \( a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2) \) แล้วตามด้วยเอกลักษณ์มุมสองเท่า \( \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \) และ \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)
1. ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง:
\( A^4 - B^4 = (A^2 - B^2)(A^2 + B^2) \)
2. แทนค่า \( A = \cos(\frac{5\pi}{12}) \) และ \( B = \sin(\frac{5\pi}{12}) \):
\( (\cos^2(\frac{5\pi}{12}) - \sin^2(\frac{5\pi}{12}))(\cos^2(\frac{5\pi}{12}) + \sin^2(\frac{5\pi}{12})) \)
3. ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ:
• \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \)
• \( \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta \)
4. จะได้ว่านิพจน์ข้างต้นเท่ากับ:
\( \cos(2 \times \frac{5\pi}{12}) \times (1) = \cos(\frac{10\pi}{12}) = \cos(\frac{5\pi}{6}) \)
5. หาค่า \( \cos(\frac{5\pi}{6}) \):
\( \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
โจทย์: ให้ P เป็นจุดบนวงรี ซึ่งมีโฟกัสอยู่ที่ \( F_1(0, -2) \) และ \( F_2(0, 2) \). ถ้า \( PF_1 = 7 \) และ \( PF_2 = 3 \) แล้วสมการวงรีคือข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 1. \( \frac{x^2}{21} + \frac{y^2}{25} = 1 \)
ใช้นิยามของวงรีโดยตรง \( PF_1 + PF_2 = 2a \) เพื่อหาค่า a. จากโฟกัสหาค่า c. สุดท้ายหา b จากความสัมพันธ์ \( a^2 = b^2 + c^2 \).
1. จากนิยามของวงรี ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรีไปยังโฟกัสทั้งสองมีค่าคงที่และเท่ากับ 2a:
\( 2a = PF_1 + PF_2 = 7 + 3 = 10 \)
\( a = 5 \)
2. โฟกัสอยู่ที่ \( (0, -2) \) และ \( (0, 2) \) แสดงว่าเป็นวงรีแนวตั้ง มีจุดศูนย์กลางที่ \( (0, 0) \) และระยะโฟกัส \( c = 2 \).
3. หาค่า b จากความสัมพันธ์ \( a^2 = b^2 + c^2 \) สำหรับวงรี:
\( 5^2 = b^2 + 2^2 \)
\( 25 = b^2 + 4 \)
\( b^2 = 21 \)
4. สมการของวงรีแนวตั้งที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0,0) คือ \( \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \).
5. แทนค่า \( a^2 = 25 \) และ \( b^2 = 21 \) ลงในสมการ:
\( \frac{x^2}{21} + \frac{y^2}{25} = 1 \)
โจทย์: ถ้า A เป็นเมทริกซ์ 3x3 ซึ่ง \( \det(2A) = 24 \) แล้ว \( \det(A^{-1}) \) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 2. \( \frac{1}{3} \)
ใช้คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ 2 ข้อ:
1. \( \det(kA) = k^n \det(A) \) (เมื่อ n คือมิติของเมทริกซ์)
2. \( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \)
1. จากคุณสมบัติ \( \det(kA) = k^n \det(A) \) โดยที่ n คือมิติของเมทริกซ์ (ในที่นี้ n=3):
\( \det(2A) = 2^3 \det(A) = 8 \det(A) \)
2. จากโจทย์ เราทราบว่า \( \det(2A) = 24 \):
\( 8 \det(A) = 24 \)
\( \det(A) = \frac{24}{8} = 3 \)
3. หา \( \det(A^{-1}) \) จากคุณสมบัติ \( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \):
\( \det(A^{-1}) = \frac{1}{3} \)
โจทย์: ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงบวก โดยที่ \(a \ne 1\) ซึ่งสอดคล้องกับสมการ \( \log_a b = 3 \) และ \( \log b + \log a = 2 \) แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 4. \( \sqrt{10} \)
แปลงสมการแรกเป็นรูปเลขยกกำลัง (\(b=a^3\)). แปลงสมการที่สองโดยใช้สมบัติ log (\(\log(ab)=2\)) แล้วแก้ระบบสมการสองตัวแปร
1. จากสมการ \( \log_a b = 3 \), เราสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปเลขยกกำลังได้เป็น:
\( b = a^3 \) --- (1)
2. จากสมการ \( \log b + \log a = 2 \), (เป็นลอการิทึมฐาน 10) เราใช้สมบัติ \( \log M + \log N = \log(MN) \):
\( \log(ab) = 2 \)
3. เปลี่ยนสมการลอการิทึมนี้ให้อยู่ในรูปเลขยกกำลัง:
\( ab = 10^2 = 100 \) --- (2)
4. แทนค่า b จากสมการ (1) ลงในสมการ (2):
\( a(a^3) = 100 \)
\( a^4 = 100 \)
5. ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง:
\( a^2 = 10 \) (เนื่องจาก a เป็นจำนวนจริงบวก)
6. ถอดรากอีกครั้ง:
\( a = \sqrt{10} \)
โจทย์: ถ้าเส้นโค้งเส้นหนึ่งผ่านจุด (8, 10) และมีความชันของเส้นโค้งที่จุด (x, y) ใดๆ เป็น \( \frac{x^{1/3}}{3} \) แล้วเส้นโค้งนี้ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 5. (0, 6)
ความชันคืออนุพันธ์ (\(f'(x)\)). ให้หาฟังก์ชันเดิม (\(f(x)\)) โดยการอินทิเกรตความชัน แล้วใช้จุด (8, 10) ที่ให้มาเพื่อหาค่าคงที่ C จากนั้นแทนค่า x จากตัวเลือกเพื่อตรวจสอบ
1. ความชันของเส้นโค้งคืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน: \( \frac{dy}{dx} = f'(x) = \frac{x^{1/3}}{3} \)
2. หาสมการเส้นโค้ง \( y = f(x) \) โดยการอินทิเกรต:
\( y = \int \frac{x^{1/3}}{3} dx = \frac{1}{3} \int x^{1/3} dx \)
\( y = \frac{1}{3} \left( \frac{x^{4/3}}{4/3} \right) + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} + C \)
\( y = \frac{1}{4}x^{4/3} + C \)
3. หาค่าคงที่ C โดยใช้ข้อมูลที่ว่าเส้นโค้งผ่านจุด (8, 10):
\( 10 = \frac{1}{4}(8)^{4/3} + C \)
คำนวณ \( 8^{4/3} = (8^{1/3})^4 = 2^4 = 16 \)
\( 10 = \frac{1}{4}(16) + C \)
\( 10 = 4 + C \implies C = 6 \)
4. ดังนั้น สมการของเส้นโค้งคือ \( y = \frac{1}{4}x^{4/3} + 6 \)
5. ตรวจสอบว่าเส้นโค้งผ่านจุดใดในตัวเลือก โดยแทนค่า x=0:
\( y = \frac{1}{4}(0)^{4/3} + 6 = 0 + 6 = 6 \)
แสดงว่าเส้นโค้งผ่านจุด (0, 6)
โจทย์: \( \lim_{x \to 2^-} \frac{|x-2|}{x^2+5x-14} \) มีค่าเท่ากับข้อใด
คำตอบ: 2. \( -\frac{1}{9} \)
ปลดค่าสัมบูรณ์ก่อนโดยพิจารณาเครื่องหมาย (เมื่อ \(x \to 2^-\) หมายถึง x น้อยกว่า 2 เล็กน้อย ดังนั้น \(x-2\) จะติดลบ). จากนั้นแยกตัวประกอบตัวส่วนเพื่อตัดเทอมที่เป็นปัญหา (0/0) แล้วค่อยแทนค่าลิมิต
1. พิจารณาค่าสัมบูรณ์ \(|x-2|\) เมื่อ \(x \to 2^-\). หมายความว่า x เข้าใกล้ 2 จากทางซ้าย ซึ่งค่าน้อยกว่า 2 เล็กน้อย (เช่น 1.99). ดังนั้น \(x-2\) จะมีค่าเป็นลบ.
2. จากนิยามค่าสัมบูรณ์ ถ้า \(A < 0\) แล้ว \(|A| = -A\). ดังนั้น \(|x-2| = -(x-2)\).
3. แทนค่ากลับเข้าไปในลิมิต:
\( \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)}{x^2+5x-14} \)
4. แยกตัวประกอบของตัวส่วน: \( x^2+5x-14 = (x+7)(x-2) \).
5. ลิมิตจะกลายเป็น:
\( \lim_{x \to 2^-} \frac{-(x-2)}{(x+7)(x-2)} \)
6. ตัดเทอม \( (x-2) \) ออก เนื่องจาก \(x \ne 2\):
\( \lim_{x \to 2^-} \frac{-1}{x+7} \)
7. แทนค่า x = 2 เพื่อหาค่าลิมิต:
\( \frac{-1}{2+7} = -\frac{1}{9} \)
โจทย์: มีหนังสือภาษาไทยต่างกัน 2 เล่ม, ภาษาอังกฤษต่างกัน 3 เล่ม และคณิตศาสตร์ต่างกัน 3 เล่ม ถ้าจะวางหนังสือเหล่านี้ซ้อนกันอยู่ในตั้งเดียวกัน แล้วจำนวนวิธีที่จะจัดวางให้หนังสือวิชาเดียวกันอยู่ติดกันทั้งหมด เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 5. 432 วิธี
ใช้หลัก "มัดรวม" (Grouping). มองของที่ต้องอยู่ติดกันเป็น 1 หน่วยใหญ่ก่อน แล้วสลับหน่วยใหญ่ๆ นั้น (3 มัด สลับได้ 3!). จากนั้นค่อยคูณด้วยวิธีสลับของภายในแต่ละมัด (2! สำหรับไทย, 3! สำหรับอังกฤษ, 3! สำหรับคณิต).
1. จัดกลุ่ม: มองหนังสือวิชาเดียวกันเป็น 1 มัด. เราจะมีทั้งหมด 3 มัด คือ [มัดหนังสือไทย], [มัดหนังสืออังกฤษ], [มัดหนังสือคณิต].
2. สลับระหว่างกลุ่ม: จำนวนวิธีสลับตำแหน่งของ 3 มัดนี้ คือ \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) วิธี.
3. สลับภายในกลุ่ม:
4. รวมวิธีทั้งหมด: ใช้หลักการคูณ นำจำนวนวิธีในแต่ละขั้นตอนมาคูณกัน:
จำนวนวิธีทั้งหมด = (วิธีสลับกลุ่ม) × (วิธีสลับในมัดไทย) × (วิธีสลับในมัดอังกฤษ) × (วิธีสลับในมัดคณิต)
จำนวนวิธี = \( 3! \times 2! \times 3! \times 3! \)
จำนวนวิธี = \( 6 \times 2 \times 6 \times 6 = 432 \) วิธี
โจทย์: จำนวนจริง 100 จำนวน มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 80. ถ้าสุ่มจำนวนเหล่านี้ มา 10 จำนวน พบว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 75.5 แล้วค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวนที่เหลือ 90 จำนวน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 3. 80.5
ใช้สูตรพื้นฐาน \( \text{ผลรวม} = \text{จำนวนข้อมูล} \times \text{ค่าเฉลี่ย} \). หาผลรวมของกลุ่มใหญ่, หาผลรวมของกลุ่มย่อย, นำมาลบกันเพื่อหาผลรวมของกลุ่มที่เหลือ, แล้วหารด้วยจำนวนที่เหลือเพื่อหาค่าเฉลี่ย
1. หาผลรวมของข้อมูลทั้งหมด (100 จำนวน):
\( \text{ผลรวม}_{100} = 100 \times 80 = 8000 \)
2. หาผลรวมของข้อมูลที่สุ่มมา (10 จำนวน):
\( \text{ผลรวม}_{10} = 10 \times 75.5 = 755 \)
3. หาผลรวมของข้อมูลที่เหลือ (90 จำนวน):
\( \text{ผลรวม}_{90} = \text{ผลรวม}_{100} - \text{ผลรวม}_{10} \)
\( \text{ผลรวม}_{90} = 8000 - 755 = 7245 \)
4. หาค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่เหลือ (90 จำนวน):
\( \text{ค่าเฉลี่ย}_{90} = \frac{\text{ผลรวม}_{90}}{90} = \frac{7245}{90} \)
\( \text{ค่าเฉลี่ย}_{90} = 80.5 \)