ชุดที่ 2: ข้อ 11 - 15
โจทย์: ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \( |x^2 - 72| = x \) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 4. 17
จากรูปแบบ \(|A| = B\), เงื่อนไขแรกคือ \(B \ge 0\) (ดังนั้น \(x \ge 0\)). จากนั้นแยกแก้ 2 กรณีคือ \(A=B\) และ \(A=-B\). คำตอบที่ได้ต้องนำมาตรวจกับเงื่อนไข \(x \ge 0\) ด้วยเสมอ
1. ตั้งเงื่อนไข: จากสมการ \( |x^2 - 72| = x \), ค่าทางขวา (ผลลัพธ์ของค่าสัมบูรณ์) ต้องไม่เป็นลบ ดังนั้น \( x \ge 0 \).
2. แยก 2 กรณีตามนิยามค่าสัมบูรณ์:
กรณีที่ 1: \( x^2 - 72 = x \)
\( x^2 - x - 72 = 0 \)
\( (x-9)(x+8) = 0 \)
ได้ \( x = 9 \) หรือ \( x = -8 \). แต่จากเงื่อนไข \( x \ge 0 \), เราใช้ได้แค่ \( x = 9 \).
กรณีที่ 2: \( x^2 - 72 = -x \)
\( x^2 + x - 72 = 0 \)
\( (x+9)(x-8) = 0 \)
ได้ \( x = -9 \) หรือ \( x = 8 \). จากเงื่อนไข \( x \ge 0 \), เราใช้ได้แค่ \( x = 8 \).
3. รวมคำตอบ: คำตอบของสมการคือ 9 และ 8.
4. หาผลบวกของคำตอบ:
\( 9 + 8 = 17 \)
โจทย์: เศษเหลือจากการหาร \( (\sum_{k=1}^{10} k!)^2 \) ด้วย 5 เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 5. 4
สังเกตว่าตั้งแต่ \(5!\) เป็นต้นไป ทุกตัวจะมี 5 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นจะหารด้วย 5 ลงตัว (เศษ 0). เราจึงสนใจแค่ผลรวมของเศษจาก \(1!+2!+3!+4!\) เท่านั้น
1. พิจารณาเศษเหลือของแต่ละแฟกทอเรียลเมื่อหารด้วย 5:
2. หาเศษเหลือของผลรวม: เราสนใจแค่เศษของแต่ละตัวบวกกัน
เศษของ \( \sum_{k=1}^{10} k! \) = เศษของ (1 + 2 + 1 + 4 + 0 + ... + 0)
= เศษของ (8) เมื่อหารด้วย 5 ซึ่งก็คือ 3
3. หาเศษเหลือของกำลังสอง: โจทย์ต้องการหาเศษของ \( (\sum_{k=1}^{10} k!)^2 \). เราสามารถนำเศษที่ได้จากขั้นตอนที่ 2 มายกกำลังสองได้เลย
เศษของ \( (3)^2 \) = เศษของ 9 เมื่อหารด้วย 5
เศษคือ 4
โจทย์: กำหนดให้ \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 \) เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า \(x+2\) หาร P(x) เหลือเศษ 2 และสมการ \(P(x)=0\) มีคำตอบเป็นจำนวนตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว แล้ว \(a+b\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 1. 11
ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ (\(P(-2)=2\)) เพื่อสร้างสมการแรก. ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะเพื่อหาค่าที่เป็นไปได้ของคำตอบ (ตัวประกอบของ 2 หารด้วยตัวประกอบของ 1) แล้วทดลองแทนค่าเพื่อหาคำตอบตรรกยะนั้น ซึ่งจะให้สมการที่สอง แล้วแก้ระบบสมการหา a, b.
1. ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ: \(x+2\) หาร P(x) เหลือเศษ 2 หมายความว่า \( P(-2) = 2 \).
\( P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 + b(-2) + 2 = 2 \)
\( -8 + 4a - 2b + 2 = 2 \)
\( 4a - 2b = 8 \implies 2a - b = 4 \) --- (1)
2. ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ: คำตอบตรรกยะที่เป็นไปได้ของ \(P(x)=0\) คือ \( \pm 1, \pm 2 \).
3. ทดลองแทนค่า: เราจะลองแทนค่าเหล่านี้ใน \(P(x)=0\) เพื่อหาว่าตัวไหนคือคำตอบ.
ลองแทน \(x=1\): \(P(1) = 1+a+b+2=0 \implies a+b=-3\). ขัดแย้งกับที่ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก.
ลองแทน \(x=-1\): \(P(-1) = -1+a-b+2=0 \implies a-b=-1\). --- (2)
4. แก้ระบบสมการ: จาก (1) และ (2)
\( (2a - b) - (a - b) = 4 - (-1) \)
\( a = 5 \)
แทน a=5 ใน (2): \( 5 - b = -1 \implies b = 6 \)
5. ตรวจสอบเงื่อนไข: a=5, b=6 เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ สอดคล้องกับโจทย์.
6. หาคำตอบสุดท้าย:
\( a+b = 5+6 = 11 \)
โจทย์: ในรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า \(AC = 2\sqrt{3}\), \(BC = 5\) และ \( \hat{A} = 120^\circ \) แล้ว \(\cos C\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: \( \frac{3\sqrt{3}+4}{10} \) (ไม่มีในตัวเลือก แต่เป็นคำตอบที่ถูกต้องตามการคำนวณ)
ใช้กฎของโคไซน์หาด้าน AB (ด้าน c) ก่อน จากนั้นใช้กฎของโคไซน์อีกครั้งเพื่อหา \(\cos C\).
1. ใช้กฎของโคไซน์ (Law of Cosines) เพื่อหาด้าน c (AB): ให้ \(b=AC=2\sqrt{3}\), \(a=BC=5\), \(A=120^\circ\).
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \)
\( 5^2 = (2\sqrt{3})^2 + c^2 - 2(2\sqrt{3})c \cos 120^\circ \)
\( 25 = 12 + c^2 - 4\sqrt{3}c(-\frac{1}{2}) \)
\( 25 = 12 + c^2 + 2\sqrt{3}c \)
\( c^2 + 2\sqrt{3}c - 13 = 0 \)
แก้สมการกำลังสองหา c (c ต้องเป็นบวก): \( c = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 4(1)(-13)}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{12+52}}{2} = \frac{-2\sqrt{3} + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2\sqrt{3}+8}{2} = 4-\sqrt{3} \)
2. ใช้กฎของโคไซน์อีกครั้งเพื่อหา \(\cos C\):
\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
\( \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{5^2+(2\sqrt{3})^2-(4-\sqrt{3})^2}{2(5)(2\sqrt{3})} \)
\( \cos C = \frac{25+12-(16-8\sqrt{3}+3)}{20\sqrt{3}} = \frac{37-19+8\sqrt{3}}{20\sqrt{3}} = \frac{18+8\sqrt{3}}{20\sqrt{3}} = \frac{9+4\sqrt{3}}{10\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}+12}{30} = \frac{3\sqrt{3}+4}{10}\)
หมายเหตุ: คำตอบข้อนี้ไม่มีในตัวเลือก ซึ่งอาจเกิดจากความผิดพลาดของข้อสอบหรือตัวเลือก
โจทย์: วงกลมที่อยู่เหนือแกน X ซึ่งสัมผัสกับเส้นตรง \(4y=3x\) ที่จุด (4, 3) และสัมผัสกับแกน Y มีรัศมีเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 2. 2.5 หน่วย
เงื่อนไข "สัมผัสแกน Y" บอกเราว่า \(h=r\) (เมื่อจุดศูนย์กลางคือ (h,k)). เงื่อนไข "สัมผัสเส้นตรงที่จุด (4,3)" บอกเราว่ารัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ใช้ความชันตั้งฉากกันคูณกันได้ -1 เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่าง h, k. แก้ระบบสมการหา r.
1. จากเงื่อนไขสัมผัสแกน Y: ให้จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ (h, k) และรัศมีคือ r. วงกลมสัมผัสแกน Y หมายความว่าระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังแกน Y เท่ากับรัศมี ดังนั้น \(h = r\). จุดศูนย์กลางคือ (r, k).
2. จากเงื่อนไขสัมผัสเส้นตรง: เส้นตรงคือ \(3x-4y=0\) มีความชัน \(m_1 = \frac{3}{4}\). เส้นรัศมีที่ลากจากจุดศูนย์กลาง (r, k) ไปยังจุดสัมผัส (4, 3) จะต้องตั้งฉากกับเส้นสัมผัส.
3. หาความชันของรัศมี (\(m_2\)): \( m_2 = \frac{k-3}{r-4} \).
4. ใช้เงื่อนไขเส้นตั้งฉาก (\(m_1 m_2 = -1\)):
\( (\frac{3}{4}) (\frac{k-3}{r-4}) = -1 \)
\( 3(k-3) = -4(r-4) \implies 3k-9 = -4r+16 \implies 3k+4r = 25 \) --- (1)
5. ใช้ระยะทาง: ระยะทางจากจุดศูนย์กลาง (r, k) ไปยังจุดสัมผัส (4, 3) เท่ากับรัศมี r.
\( r^2 = (r-4)^2 + (k-3)^2 \)
\( r^2 = r^2 - 8r + 16 + k^2 - 6k + 9 \)
\( 0 = -8r + k^2 - 6k + 25 \implies 8r = k^2 - 6k + 25 \) --- (2)
6. แก้ระบบสมการ: จาก (1), \( r = \frac{25-3k}{4} \). แทนใน (2):
\( 8(\frac{25-3k}{4}) = k^2 - 6k + 25 \)
\( 2(25-3k) = k^2 - 6k + 25 \)
\( 50 - 6k = k^2 - 6k + 25 \)
\( 50 = k^2 + 25 \implies k^2 = 25 \implies k = 5 \) (เพราะวงกลมอยู่เหนือแกน X)
7. หารัศมี r: แทน k=5 ใน \( r = \frac{25-3k}{4} \)
\( r = \frac{25-3(5)}{4} = \frac{25-15}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \)