ชุดที่ 3: ข้อ 16 - 20
โจทย์: กำหนดให้ A, B และ C เป็นจุดในระบบพิกัดฉากสามมิติ และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เท่ากับ 1 ตารางหน่วย พิจารณาข้อความต่อไปนี้
คำตอบ: 3. 3 ข้อ (ก, ข, ง)
ใช้ความเข้าใจในนิยามและคุณสมบัติพื้นฐานของเวกเตอร์: พื้นที่สามเหลี่ยมเกี่ยวข้องกับขนาดของ cross product, ทิศทางของ cross product ตั้งฉากกับระนาบ, และการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัว
ก. \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) ตั้งฉากกับ \( \vec{AB} + \vec{AC} \)
ถูก. เพราะว่า \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่ประกอบด้วย \( \vec{AB} \) และ \( \vec{AC} \). ในขณะที่ \( \vec{AB} + \vec{AC} \) เป็นเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบเดียวกันนั้น ดังนั้นเวกเตอร์ทั้งสองจึงตั้งฉากกัน
ข. \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = 2 \)
ถูก. จากสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม \( \text{พื้นที่} = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| \).
\( 1 = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| \)
\( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = 2 \)
ค. \( |\vec{AB}||\vec{AC}| < 2 \)
ผิด. จากนิยาม \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = |\vec{AB}||\vec{AC}|\sin\theta \).
เรารู้ว่า \( |\vec{AB} \times \vec{AC}| = 2 \), ดังนั้น \( |\vec{AB}||\vec{AC}|\sin\theta = 2 \).
เนื่องจาก \( 0 < \sin\theta \le 1 \), จะได้ว่า \( |\vec{AB}||\vec{AC}| = \frac{2}{\sin\theta} \) ซึ่งหมายความว่า \( |\vec{AB}||\vec{AC}| \ge 2 \).
ง. \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \)
ถูก. นี่คือนิยามการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหัว (Triangle Law of Vector Addition). การเดินทางจาก A ไป B แล้วต่อจาก B ไป C มีผลลัพธ์เหมือนกับการเดินทางจาก A ไป C โดยตรง
โจทย์: กำหนดให้ I เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ 3x3 และ \( B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \end{bmatrix} \). ถ้า A เป็นเมทริกซ์มิติ 3x3 ซึ่ง \( AB^t = 2I \) แล้ว \( \det(A) \) มีค่าเท่าใด
คำตอบ: 4. 6 (ตามเฉลยใน PDF แต่โจทย์น่าจะผิด)
ใส่ det ทั้งสองข้างของสมการ \(AB^t = 2I\). ใช้คุณสมบัติ \( \det(XY) = \det(X)\det(Y) \), \( \det(Y^t) = \det(Y) \), และ \( \det(kI) = k^n \). แล้วแก้สมการหา \( \det(A) \).
1. จากสมการ \( AB^t = 2I \), ใส่ det ทั้งสองข้าง:
\( \det(AB^t) = \det(2I) \)
2. ใช้คุณสมบัติของ det:
\( \det(A) \det(B^t) = 2^3 \det(I) \)
3. เรารู้ว่า \( \det(B^t) = \det(B) \) และ \( \det(I) = 1 \), ดังนั้น:
\( \det(A) \det(B) = 8 \)
4. คำนวณหา \( \det(B) \):
\( \det(B) = 2( (1)(-2) - (-1)(2) ) - 1( (1)(-2) - (-1)(3) ) + 2( (1)(2) - (1)(3) ) \)
\( = 2(-2+2) - 1(-2+3) + 2(2-3) \)
\( = 2(0) - 1(1) + 2(-1) = -1 - 2 = -3 \)
5. แทนค่า \( \det(B) \) กลับเข้าไป:
\( \det(A) \times (-3) = 8 \)
\( \det(A) = -\frac{8}{3} \)
หมายเหตุ: คำตอบที่คำนวณได้คือ \(-\frac{8}{3}\) ซึ่งไม่มีในตัวเลือก และไม่ตรงกับเฉลยในหน้าสุดท้ายของ PDF (ตอบ 6). มีความเป็นไปได้สูงว่าโจทย์หรือตัวเลือกที่ให้มาในเอกสารต้นฉบับนั้นผิดพลาด.
โจทย์: ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \( 4^{|3x-1|} - 2^4 = 6(2^{|3x-1|}) \) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 2. \( \frac{2}{3} \)
จัดรูปให้เป็นสมการกำลังสองโดยการสมมติตัวแปร. ให้ \( y = 2^{|3x-1|} \), แล้ว \( 4^{|3x-1|} = (2^2)^{|3x-1|} = (2^{|3x-1|})^2 = y^2 \). แก้สมการหา y แล้วแทนค่ากลับเพื่อหา x.
1. จัดรูปสมการ:
\( (2^2)^{|3x-1|} - 16 = 6(2^{|3x-1|}) \)
\( (2^{|3x-1|})^2 - 6(2^{|3x-1|}) - 16 = 0 \)
2. สมมติตัวแปร: ให้ \( y = 2^{|3x-1|} \). สมการจะกลายเป็น:
\( y^2 - 6y - 16 = 0 \)
3. แก้สมการกำลังสอง:
\( (y-8)(y+2) = 0 \)
ได้ \( y=8 \) หรือ \( y=-2 \).
4. พิจารณาค่า y: เนื่องจาก \( y = 2^{...} \) จะต้องมีค่าเป็นบวกเสมอ ดังนั้น \( y=-2 \) จึงใช้ไม่ได้. เราจะใช้แค่ \( y=8 \).
5. แทนค่ากลับเพื่อหา x:
\( 2^{|3x-1|} = 8 = 2^3 \)
\( |3x-1| = 3 \)
6. แก้สมการค่าสัมบูรณ์:
กรณี 1: \( 3x-1 = 3 \implies 3x = 4 \implies x = \frac{4}{3} \)
กรณี 2: \( 3x-1 = -3 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3} \)
7. หาผลบวกของคำตอบ:
\( \frac{4}{3} + (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} \)
โจทย์: เซตคำตอบของสมการ \( \log(\log x) + \log(\log x^8 - 16) = 1 \) คือเซตในข้อใดต่อไปนี้
คำตอบ: 4. \( \{ 100\sqrt{10} \} \)
ใช้สมบัติ log รวมฝั่งซ้าย (\(\log M + \log N = \log(MN)\)). เปลี่ยนสมการ log เป็นเลขชี้กำลัง. จากนั้นสมมติตัวแปร \(y = \log x\) เพื่อแก้สมการกำลังสอง. อย่าลืมตรวจคำตอบกับเงื่อนไขหลัง log ต้องเป็นบวก.
1. ตั้งเงื่อนไข: ตัวที่อยู่หลัง log ต้องมากกว่า 0
• \( \log x > 0 \implies x > 10^0 \implies x > 1 \)
• \( \log x^8 - 16 > 0 \implies 8\log x > 16 \implies \log x > 2 \implies x > 10^2 \implies x > 100 \).
ดังนั้นเงื่อนไขรวมคือ \( x > 100 \).
2. จัดรูปสมการ:
\( \log( (\log x)(\log x^8 - 16) ) = 1 \)
\( \log( (\log x)(8\log x - 16) ) = 1 \)
3. เปลี่ยนเป็นเลขชี้กำลัง:
\( (\log x)(8\log x - 16) = 10^1 = 10 \)
4. สมมติตัวแปร: ให้ \( y = \log x \). สมการจะกลายเป็น:
\( y(8y - 16) = 10 \)
\( 8y^2 - 16y - 10 = 0 \implies 4y^2 - 8y - 5 = 0 \)
5. แก้สมการกำลังสอง:
\( (2y-5)(2y+1) = 0 \)
ได้ \( y = \frac{5}{2} \) หรือ \( y = -\frac{1}{2} \).
6. พิจารณาค่า y: จากเงื่อนไข \(x > 100 \implies \log x > 2\), ดังนั้น \(y > 2\). เราจึงใช้ได้แค่ \( y = \frac{5}{2} = 2.5 \).
7. แทนค่ากลับหา x:
\( \log x = \frac{5}{2} \)
\( x = 10^{5/2} = 10^{2 + 1/2} = 10^2 \cdot 10^{1/2} = 100\sqrt{10} \)
โจทย์: กำหนดให้ \( a_1, a_2, ..., a_n, ... \) เป็นลำดับเรขาคณิต, \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 1 \) และ \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = -\frac{2}{3} \). แล้ว \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \) มีค่าเท่าใด
คำตอบ: 3. \( \frac{2}{3} \)
ตั้ง 2 สมการจากสูตรอนุกรมอนันต์ \( S_\infty = \frac{a_1}{1-r} \). สังเกตอนุกรมที่สองมีพจน์แรกเป็น \(-a_1\) และอัตราส่วนร่วมเป็น \(-r\). แก้ระบบสมการหา \(a_1\) และ \(r\). สุดท้ายหาผลบวกของอนุกรมใหม่ซึ่งมีพจน์แรกเป็น \(a_1^2\) และอัตราส่วนร่วมเป็น \(r^2\).
1. สมการจากอนุกรมแรก: \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r} = 1 \) --- (1)
2. สมการจากอนุกรมที่สอง: อนุกรมคือ \( -a_1 + a_2 - a_3 + ... \) ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีพจน์แรกคือ \(-a_1\) และอัตราส่วนร่วมคือ \(-r\).
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = \frac{-a_1}{1-(-r)} = \frac{-a_1}{1+r} = -\frac{2}{3} \)
\( \frac{a_1}{1+r} = \frac{2}{3} \) --- (2)
3. แก้ระบบสมการ: จาก (1), \( a_1 = 1-r \). นำไปแทนใน (2):
\( \frac{1-r}{1+r} = \frac{2}{3} \)
\( 3(1-r) = 2(1+r) \implies 3-3r = 2+2r \implies 1 = 5r \implies r = \frac{1}{5} \)
4. หา \(a_1\): \( a_1 = 1 - r = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
5. หาผลบวกอนุกรมที่โจทย์ต้องการ: \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 \) เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีพจน์แรกคือ \( a_1^2 \) และอัตราส่วนร่วมคือ \( r^2 \).
• พจน์แรกใหม่: \( a_1^2 = (\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25} \)
• อัตราส่วนร่วมใหม่: \( r^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25} \)
\( S_\infty' = \frac{a_1^2}{1-r^2} = \frac{16/25}{1 - 1/25} = \frac{16/25}{24/25} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3} \)