เฉลยข้อสอบคณิตศาสตร์ 9 วิชาสามัญ ปี 2562

วิธีทำอย่างละเอียด

1. หา \(x_0\) ที่คู่กับ \(y_0=6\): เราต้องการหา x ที่ทำให้ \( f(x) = 6 \).

\( x^3 + 2x + 3 = 6 \)

\( x^3 + 2x - 3 = 0 \)

โดยการลองแทนค่าจำนวนเต็มง่ายๆ จะพบว่า \(x=1\) ทำให้สมการเป็นจริง: \( (1)^3 + 2(1) - 3 = 1+2-3 = 0 \). ดังนั้น \( x_0 = 1 \).

2. หาอนุพันธ์ของ f(x):

\( f'(x) = 3x^2 + 2 \)

3. หาค่า \(f'(x_0)\):

\( f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5 \)

4. ใช้สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:

\( g'(6) = (f^{-1})'(6) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5} \)

วิธีทำอย่างละเอียด

1. หาสมการ g(x): มีจุดยอดที่ (1,4) และผ่านจุด (0,0).

\( g(x) = k(x-1)^2+4 \)

แทน (0,0): \( 0 = k(0-1)^2+4 \implies 0 = k+4 \implies k=-4 \).

ดังนั้น \( g(x) = -4(x-1)^2+4 = -4x^2+8x \).

2. หาสมการ f(x): มีจุดยอดที่ (0,0) และจากรูปจะเห็นว่าผ่านจุดยอดของ g(x) คือ (1,4).

\( f(x) = ax^2 \)

แทน (1,4): \( 4 = a(1)^2 \implies a=4 \).

ดังนั้น \( f(x) = 4x^2 \).

3. หาพื้นที่: อินทิเกรตจาก x=0 ถึง x=1 ของ (กราฟบน - กราฟล่าง).

\( \text{พื้นที่} = \int_0^1 (g(x) - f(x)) dx = \int_0^1 ((-4x^2+8x) - (4x^2)) dx \)

\( = \int_0^1 (-8x^2+8x) dx \)

\( = [-\frac{8x^3}{3} + 4x^2]_0^1 \)

\( = (-\frac{8}{3} + 4) - (0) = \frac{-8+12}{3} = \frac{4}{3} \)

วิธีทำอย่างละเอียด

1. หาวิธีทั้งหมด (Sample Space): เลือก 3 ใบจาก 9 ใบ.

\( n(S) = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \) วิธี.

2. หาเหตุการณ์ตรงข้าม (E'): ผลคูณเป็นเลขคี่.

เกิดขึ้นเมื่อหยิบได้เลขคี่ทั้ง 3 ใบ. ใน 1-9 มีเลขคี่ 5 ตัว (1,3,5,7,9) และเลขคู่ 4 ตัว (2,4,6,8).

\( n(E') = \text{เลือกคี่ 3 ตัวจาก 5 ตัว} = \binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \) วิธี.

3. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม:

\( P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{10}{84} \)

4. หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่สนใจ (E):

\( P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{10}{84} = \frac{84-10}{84} = \frac{74}{84} = \frac{37}{42} \)

วิธีทำอย่างละเอียด

1. พิจารณาข้อมูลแรก (x=30): น้อยกว่า 30 กก. มี 15.87% (0.1587). พื้นที่นี้อยู่ทางซ้ายสุดของโค้ง. พื้นที่จากแกนกลาง (ค่าเฉลี่ย) ไปยังค่า z คือ \( 0.5 - 0.1587 = 0.3413 \). จากตาราง พื้นที่ 0.3413 ตรงกับค่า \(z=1\). เนื่องจากค่านี้น้อยกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้น \(z_1 = -1\).

2. พิจารณาข้อมูลที่สอง (x=41): มากกว่า 41 กก. มี 11.51% (0.1151). พื้นที่นี้อยู่ทางขวาสุดของโค้ง. พื้นที่จากแกนกลางไปยังค่า z คือ \( 0.5 - 0.1151 = 0.3849 \). จากตาราง พื้นที่ 0.3849 ตรงกับค่า \(z=1.2\). ดังนั้น \(z_2 = 1.2\).

3. สร้างระบบสมการจากสูตร \( z = \frac{x-\mu}{\sigma} \):

(1) \( -1 = \frac{30-\mu}{\sigma} \implies -\sigma = 30 - \mu \)

(2) \( 1.2 = \frac{41-\mu}{\sigma} \implies 1.2\sigma = 41 - \mu \)

4. แก้ระบบสมการ: นำสมการ (2) - (1):

\( 1.2\sigma - (-\sigma) = (41-\mu) - (30-\mu) \)

\( 2.2\sigma = 11 \implies \sigma = \frac{11}{2.2} = 5 \)

5. หาค่าเฉลี่ย \(\mu\): แทน \(\sigma=5\) ในสมการ (1):

\( -5 = 30 - \mu \implies \mu = 30+5 = 35 \)

วิธีทำอย่างละเอียด

ก. ถ้าเพิ่มข้อมูล a: การเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับฐานนิยมเดิมเข้าไป จะยิ่งทำให้ค่านั้นซ้ำบ่อยขึ้นไปอีก ฐานนิยมจึงยังคงเป็นค่าเดิม. (ถูก)

ข. ถ้าเพิ่มข้อมูล m: การเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับมัธยฐานเดิมเข้าไป จะทำให้ค่าที่อยู่ตรงกลางยังคงเป็นมัธยฐานเดิม. (ถูก)

ค. ถ้าเพิ่มข้อมูล \(\bar{x}\): การเพิ่มข้อมูลที่มีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเดิมเข้าไป เปรียบเสมือนการเพิ่มข้อมูลที่จุดสมดุลของข้อมูลเดิม ทำให้จุดสมดุลใหม่ (ค่าเฉลี่ยใหม่) ยังคงอยู่ที่เดิม. (ถูก)

ง. ถ้าเพิ่มข้อมูล a, m, \(\bar{x}\): พิสัยคือ (ค่าสูงสุด - ค่าต่ำสุด). เราไม่สามารถสรุปได้ว่าพิสัยจะเท่าเดิม เพราะค่า a, m, หรือ \(\bar{x}\) อาจมีค่ามากกว่าค่าสูงสุดเดิม หรือน้อยกว่าค่าต่ำสุดเดิมก็ได้. เช่น ถ้าข้อมูลคือ {1, 1, 100} พิสัยคือ 99. ฐานนิยม a=1. ถ้าเพิ่ม a=1 เข้าไป พิสัยไม่เปลี่ยน. แต่ถ้าข้อมูลคือ {1, 100, 100} พิสัยคือ 99. ฐานนิยม a=100. ถ้าเพิ่ม m=100 เข้าไป พิสัยก็ไม่เปลี่ยน. แต่ถ้าข้อมูลคือ {1, 2, 100} และ \(\bar{x} \approx 34.3\) การเพิ่ม 34.3 ไม่เปลี่ยนพิสัย. แต่ถ้าข้อมูลเป็น {1, 99, 100} และฐานนิยม a=1 ถ้าเราเพิ่ม a=1 เข้าไป พิสัยไม่เปลี่ยน. แต่ถ้าข้อมูลเป็น {1, 1, 100} และค่าเฉลี่ย \(\bar{x} \approx 34\) แต่ถ้าเกิดมีฐานนิยมอีกตัวเป็น 101 ล่ะ? ดังนั้นข้อนี้จึงไม่จำเป็นต้องเป็นจริง. (ผิด)

สรุป: มีข้อความที่ถูกต้อง 3 ข้อ คือ ก, ข, และ ค.