ชุดที่ 5: ข้อ 26 - 30
โจทย์: ให้ x เป็นจำนวนจริงใดๆ ค่าต่ำสุดของ \( |2-x| + 2|3-x| + 2|5-\sqrt{2}-x| + 2|3+\sqrt{2}-x| + 2|5-x| + |6-x| \) เท่ากับข้อใด
คำตอบ: 3. \( 4+4\sqrt{2} \)
มองในรูป \( \sum n_i |x-a_i| \). ค่าต่ำสุดจะเกิดเมื่อ x เท่ากับค่ามัธยฐานของข้อมูล \(a_i\) ที่ถูกถ่วงน้ำหนักด้วย \(n_i\). เรียงค่า \(a_i\) จากน้อยไปมาก แล้วหาว่าค่า x ที่ทำให้ผลรวมสัมประสิทธิ์ฝั่งซ้ายและขวาเท่ากันคือค่าใด.
1. จัดรูปและหาค่า \(a_i\): ฟังก์ชันคือ \( f(x) = \sum n_i |x-a_i| \). ค่า \(a_i\) คือ 2, 3, \(5-\sqrt{2}\), \(3+\sqrt{2}\), 5, 6.
2. เรียงค่า \(a_i\) จากน้อยไปมาก: \( \sqrt{2} \approx 1.414 \)
2, 3, \(3+\sqrt{2} \approx 4.414\), \(5-\sqrt{2} \approx 3.586\), 5, 6.
เรียงใหม่: 2, 3, \(5-\sqrt{2}\), \(3+\sqrt{2}\), 5, 6.
3. พิจารณาสัมประสิทธิ์ (น้ำหนัก) \(n_i\):
ที่ x=2, n=1 | ที่ x=3, n=2 | ที่ x=\(5-\sqrt{2}\), n=2 | ที่ x=\(3+\sqrt{2}\), n=2 | ที่ x=5, n=2 | ที่ x=6, n=1
4. หาค่ามัธยฐานถ่วงน้ำหนัก: ผลรวมน้ำหนักคือ \(1+2+2+2+2+1=10\). ค่าต่ำสุดจะเกิดที่ค่า x ซึ่งแบ่งน้ำหนักออกเป็น 5 และ 5.
• ที่ x=3, น้ำหนักด้านซ้ายคือ 1.
• ที่ x=\(5-\sqrt{2}\), น้ำหนักด้านซ้ายคือ 1+2=3.
• ที่ x=\(3+\sqrt{2}\), น้ำหนักด้านซ้ายคือ 1+2+2=5.
ดังนั้น ค่าต่ำสุดเกิดในช่วง \( [5-\sqrt{2}, 3+\sqrt{2}] \). เราสามารถเลือกค่า x ใดๆ ในช่วงนี้มาคำนวณก็ได้. เลือก \( x = 5-\sqrt{2} \) เพื่อความสะดวก.
5. คำนวณค่าต่ำสุด: แทน \( x = 5-\sqrt{2} \) ลงในฟังก์ชัน
\( f(5-\sqrt{2}) = |2-(5-\sqrt{2})| + 2|3-(5-\sqrt{2})| + 2|5-\sqrt{2}-(5-\sqrt{2})| + 2|3+\sqrt{2}-(5-\sqrt{2})| + 2|5-(5-\sqrt{2})| + |6-(5-\sqrt{2})| \)
\( = |-3+\sqrt{2}| + 2|-2+\sqrt{2}| + 2|0| + 2|-2+2\sqrt{2}| + 2|\sqrt{2}| + |1+\sqrt{2}| \)
\( = (3-\sqrt{2}) + 2(2-\sqrt{2}) + 0 + 2(2\sqrt{2}-2) + 2(\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) \)
\( = 3-\sqrt{2} + 4-2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}-4 + 2\sqrt{2} + 1+\sqrt{2} \)
\( = (3+4-4+1) + (-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+\sqrt{2}) = 4 + 4\sqrt{2} \)
โจทย์: กำหนดให้ \(i^2=-1\) และ \(A=\{1,2,3,4\}\). ถ้า \( S = \{(a,b,c) | i^a+i^b+i^c=1 \text{ และ } a,b,c \in A \} \) แล้ว S มีจำนวนสมาชิกเท่ากับข้อใด
คำตอบ: 5. 9
พิจารณาค่าของ \(i^n\) สำหรับ n=1,2,3,4. แล้วหาว่า 3 ตัวใดบ้างที่บวกกันได้ 1. กรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ \(i + (-i) + 1 = 1\). จากนั้นหาว่า \(i^a, i^b, i^c\) จะเป็น \(i, -i, 1\) ได้ในรูปแบบใดบ้าง แล้วใช้หลักการนับ.
1. หาค่าของ \(i^n\) ที่เป็นไปได้:
\( i^1 = i \)
\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = -i \)
\( i^4 = 1 \)
2. หาชุดของค่า 3 ค่าที่บวกกันได้ 1:
วิธีเดียวที่จะรวมกันได้ 1 คือต้องมีส่วนจริงเป็น 1 และส่วนจินตภาพหักล้างกันหมด. ซึ่งก็คือชุด \(\{i, -i, 1\}\).
3. จับคู่ค่ากับ \(i^a, i^b, i^c\): เราต้องการให้ \(\{i^a, i^b, i^c\}\) เป็นเซตเดียวกับ \(\{i, -i, 1\}\). ซึ่งหมายความว่า:
• ตัวหนึ่งต้องเป็น \(i\), ซึ่งเกิดเมื่อเลขชี้กำลังเป็น 1.
• ตัวหนึ่งต้องเป็น \(-i\), ซึ่งเกิดเมื่อเลขชี้กำลังเป็น 3.
• ตัวหนึ่งต้องเป็น \(1\), ซึ่งเกิดเมื่อเลขชี้กำลังเป็น 4.
4. นับจำนวนวิธี: เรากำลังหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของชุดตัวเลข \((a,b,c)\) ที่มาจากเซต \(\{1, 3, 4\}\). จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของของ 3 สิ่งที่แตกต่างกันคือ \(3!\).
\( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) วิธี.
5. พิจารณากรณีซ้ำ: โจทย์ไม่ได้บอกว่า a,b,c ต้องต่างกัน. มีกรณีอื่นอีกไหม? เช่น \(i^a+i^b+i^c = 1\). ลอง \(i^4+i^4-i^2 = 1+1-(-1) = 3 \ne 1\). ลอง \(i^4+i^1+i^1 = 1+i+i = 1+2i \ne 1\).
มีอีกกรณีคือ \(i^a, i^b, i^c\) มาจาก \(\{-1, 1, 1\}\). ผลบวกคือ \(-1+1+1=1\).
• เลขชี้กำลังที่ให้ค่า \(-1\) คือ 2.
• เลขชี้กำลังที่ให้ค่า \(1\) คือ 4.
ดังนั้นชุดของ \((a,b,c)\) ที่เป็นไปได้คือการเรียงสับเปลี่ยนของ \(\{2, 4, 4\}\).
จำนวนวิธี = \( \frac{3!}{2!} = 3 \) วิธี. ได้แก่ (2,4,4), (4,2,4), (4,4,2).
6. รวมจำนวนสมาชิกทั้งหมด:
จากกรณีแรก 6 วิธี + กรณีที่สอง 3 วิธี = 9 วิธี.
โจทย์: ถ้า \(a_1, a_2, ...\) เป็นลำดับของจำนวนจริงบวก ซึ่ง \(a_1=2\) และ \( \log_{1/3} a_1, \log_{1/3} a_2, ... \) เป็นลำดับเลขคณิตซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ \( \frac{1}{2} \) แล้ว \( \sum_{i=1}^\infty a_i \) มีค่าเท่ากับข้อใด
คำตอบ: 1. \( 3+\sqrt{3} \)
เมื่อ log ของลำดับเป็นลำดับเลขคณิต, ลำดับเดิม (\(a_n\)) จะเป็นลำดับเรขาคณิต. หาพจน์แรกและพจน์ที่สองของลำดับ log เพื่อหาอัตราส่วนร่วม (r) ของลำดับ \(a_n\). จากนั้นใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์.
1. ให้ \(b_n = \log_{1/3} a_n\). ลำดับ \(b_n\) เป็นลำดับเลขคณิต มีผลต่างร่วม \(d = \frac{1}{2}\).
2. หาพจน์แรกของ \(b_n\):
\( b_1 = \log_{1/3} a_1 = \log_{1/3} 2 \)
3. หาพจน์ที่สองของ \(b_n\):
\( b_2 = b_1 + d = \log_{1/3} 2 + \frac{1}{2} \)
4. หา \(a_2\): จาก \(b_2 = \log_{1/3} a_2\), เราจะได้
\( a_2 = (\frac{1}{3})^{b_2} = (\frac{1}{3})^{\log_{1/3} 2 + 1/2} = (\frac{1}{3})^{\log_{1/3} 2} \cdot (\frac{1}{3})^{1/2} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
5. หาอัตราส่วนร่วม (r) ของลำดับ \(a_n\):
\( r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{2/\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
6. หาผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์:
\( \sum_{i=1}^\infty a_i = S_\infty = \frac{a_1}{1-r} = \frac{2}{1 - 1/\sqrt{3}} \)
\( = \frac{2}{(\sqrt{3}-1)/\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \)
7. จัดรูปโดยคูณด้วยสังยุค:
\( = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(3+\sqrt{3})}{2} = 3+\sqrt{3} \)
โจทย์: ถ้า \( z_1 = \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}) \) และ \( z_2 = 3(\cos\frac{3\pi}{8} + i\sin\frac{3\pi}{8}) \) แล้ว \(|z_1 - z_2|\) เท่ากับข้อใด
คำตอบ: 2. \( \sqrt{5} \)
ใช้สูตร \( |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2) \). หรือแปลงเป็นรูป a+bi ก่อนแล้วลบกันตรงๆ จากนั้นหาขนาด.
1. ใช้สูตรขนาดของผลต่าง:
\( |z_1 - z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - (z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2) \)
โดยที่ \( z_1\bar{z_2} + \bar{z_1}z_2 = 2\text{Re}(z_1\bar{z_2}) = 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2) \)
2. หาค่าต่างๆ:
\( |z_1| = \sqrt{2} \), \( |z_2| = 3 \)
\( \theta_1 = \frac{\pi}{8} \), \( \theta_2 = \frac{3\pi}{8} \)
\( \theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{8} - \frac{3\pi}{8} = -\frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4} \)
3. แทนค่าในสูตร:
\( |z_1 - z_2|^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{2})(3)\cos(-\frac{\pi}{4}) \)
\( = 2 + 9 - 6\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4}) \)
\( = 11 - 6\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
\( = 11 - 6(1) = 5 \)
4. หา \(|z_1 - z_2|\):
\( |z_1 - z_2| = \sqrt{5} \)
โจทย์: กำหนดให้ \(S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}\). ถ้าสุ่มหยิบสมาชิก 4 ตัวพร้อมกันจาก S เพื่อนำมาสร้างเมทริกซ์มิติ 2x2 แล้วความน่าจะเป็นที่เมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานเท่ากับข้อใด
คำตอบ: 3. \( \frac{13}{15} \)
คิดแบบตรงข้าม. "ไม่เอกฐาน" (\(det \ne 0\)) ตรงข้ามกับ "เอกฐาน" (\(det=0\)). หาจำนวนวิธีที่ทำให้ \(ad-bc=0\) ซึ่งจะเกิดเมื่อ \(ad=bc\). แยกกรณีตามผลคูณที่เป็นไปได้ แล้วลบออกจากวิธีทั้งหมด.
1. หาวิธีทั้งหมด (Sample Space): เลือก 4 ตัวจาก 5 ตัว คือ \( \binom{5}{4}=5 \) วิธี. ในแต่ละชุด 4 ตัว สามารถนำมาสร้างเมทริกซ์ 2x2 ได้ \(4!\) วิธี. แต่โจทย์น่าจะหมายถึงเลือกมา 4 ตัวแล้วสร้างเป็นเมทริกซ์ใดๆ 1 แบบ. ดังนั้นวิธีทั้งหมดคือการเลือกสมาชิก 4 ตัวมาใส่ใน 4 ตำแหน่ง \(P(5,4) = \frac{5!}{1!} = 120\) วิธี.
2. หาเหตุการณ์ตรงข้าม (E'): เมทริกซ์เป็นเอกฐาน (\(ad-bc=0\)).
เราต้องเลือก a,b,c,d จาก S (ห้ามซ้ำ) ที่ทำให้ \(ad=bc\).
• กรณี 1: มี 0 อยู่ในสมาชิกที่เลือก. ชุดที่เลือกคือ \(\{-2,-1,1,2\}\) หรือ \(\{-2,-1,0,1\}\) หรือ \(\{-2,-1,0,2\}\) หรือ \(\{-1,0,1,2\}\) หรือ \(\{-2,0,1,2\}\). ถ้าเลือก \(\{-2,-1,1,2\}\) จะไม่มีทางที่ \(ad=bc\).
ถ้ามี 0 อยู่ในชุดที่เลือก เช่น \(\{-1,0,1,2\}\). det=0 เมื่อ 0 อยู่ในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่ง และผลคูณอีกคู่เป็น 0 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะไม่มีตัวซ้ำ. หรือเมื่อ \(ad=bc\), เช่น a=2,d=1, b=-1,c=-2 (ไม่ได้อยู่ในเซต). หรือ a=2,d=-1, b=1,c=-2 (อยู่ในเซต).
ให้พิจารณาชุดตัวเลข 4 ตัวที่ถูกเลือกมาก่อน.
- ชุด \(\{-2, -1, 1, 2\}\). \(ad=bc\) ที่เป็นไปได้คือ \((-2)(1) = (-1)(2)\) หรือ \((-2)(-1)=(1)(2)\).
- สำหรับ \((-2)(1) = (-1)(2)\): a,d สามารถเป็น \(-2,1\) หรือ \(1,-2\). b,c สามารถเป็น \(-1,2\) หรือ \(2,-1\). จับคู่ได้ \(2 \times 2 = 4\) เมทริกซ์. แต่ a,d,b,c ต้องต่างกัน. ดังนั้น a,d,b,c คือการเรียงสับเปลี่ยนของ \(-2,1,-1,2\). มี \(4!\) วิธี.
- สำหรับ \((-2)(-1)=(1)(2)\): a,d,b,c คือการเรียงสับเปลี่ยนของ \(-2,-1,1,2\). มี \(4!\) วิธี.
วิธีที่ง่ายกว่าคือพิจารณาผลคูณที่เป็นไปได้:
- \(ad=bc=2\): คู่ตัวเลขคือ (1,2) และ (-1,-2). ชุด 4 ตัวคือ \(\{1,2,-1,-2\}\). จำนวนวิธีที่ \(ad=2\) มี 2x2=4 วิธี (1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1). จำนวนวิธีที่ \(bc=2\) ก็มี 4 วิธี. แต่ a,b,c,d ต้องต่างกัน. ดังนั้นถ้า (a,d)=(1,2) แล้ว (b,c) ต้องเป็น (-1,-2) หรือ (-2,-1). มี 2 วิธี. ถ้า (a,d)=(2,1) ก็มี 2 วิธี. ถ้า (a,d)=(-1,-2) ก็มี 2 วิธี. ถ้า (a,d)=(-2,-1) ก็มี 2 วิธี. รวม \(2+2+2+2=8\) วิธี.
- \(ad=bc=-2\): คู่ตัวเลขคือ (1,-2) และ (-1,2). ชุด 4 ตัวคือ \(\{1,-2,-1,2\}\). เหมือนกรณีบน ได้ 8 วิธี.
- \(ad=bc=0\): ต้องมี 0 อยู่ในชุด 4 ตัว. เช่น \(\{-2,-1,0,1\}\). ถ้า a=0, det=-bc. จะเป็น 0 เมื่อ b หรือ c เป็น 0 (ซึ่งเป็นไปไม่ได้). ดังนั้น det=0 เมื่อ 0 อยู่ในแนวทแยงมุมหนึ่ง และอีกแนวทแยงมุมเป็นอะไรก็ได้. เช่น a=0, d=?. b,c ต้องเป็น \(-1,1\) หรือ \(-2,1\) หรือ \(-2,-1\).
วิธีที่ง่ายที่สุด: จำนวนวิธีทั้งหมดคือ \(P(5,4)=120\). จำนวนวิธีที่ \(det=0\).
- มี 0: เลือก 3 ตัวจาก 4 ตัวที่เหลือ \(\binom{4}{3}=4\) ชุด. แต่ละชุดมี 0. จำนวนวิธีที่ det=0 คือเมื่อ \(ad=bc\). ถ้า a=0, ต้องมี \(bc=0\) ซึ่งเป็นไปไม่ได้.
- ไม่มี 0: ชุดคือ \(\{-2,-1,1,2\}\). วิธีที่ det=0 คือ \(ad=bc\).
- \(ad=bc=2\): (a,d) เป็น (1,2) หรือ (2,1). (b,c) เป็น (-1,-2) หรือ (-2,-1). มี \(2 \times 2 = 4\) วิธี.
- \(ad=bc=-2\): (a,d) เป็น (1,-2) หรือ (-2,1). (b,c) เป็น (-1,2) หรือ (2,-1). มี \(2 \times 2 = 4\) วิธี.
- \(ad=bc=1\): ไม่มี.
- \(ad=bc=-1\): ไม่มี.
รวม 8 วิธีที่ det=0 จากชุดนี้. แต่เราสามารถสลับคู่ (ad) กับ (bc) ได้อีก. ดังนั้นมี 16 วิธี.
รวมวิธีที่ det=0 ทั้งหมดคือ 16 วิธี.
3. หาจำนวนวิธีที่ det=0 (เอกฐาน):
- ชุดที่เลือกไม่มี 0: \(\{-2, -1, 1, 2\}\). \(ad=bc\) เกิดเมื่อ \((-2)(1)=(-1)(2)\) หรือ \((2)(-1)=(1)(-2)\). มี 8 วิธีเรียง. และ \((2)(1)=(-1)(-2)\) หรือ \((-2)(-1)=(1)(2)\). มี 8 วิธีเรียง. รวม 16 วิธี.
- ชุดที่เลือกมี 0: \(\{-2, -1, 0, 1\}\), \(\{-2, -1, 0, 2\}\), \(\{-2, 0, 1, 2\}\), \(\{-1, 0, 1, 2\}\).
พิจารณาชุด \(\{-1, 0, 1, 2\}\). \(ad=bc\). ถ้ามี 0, ผลคูณต้องเป็น 0. เช่น \(ad=0\). ดังนั้น a หรือ d ต้องเป็น 0. สมมติ a=0. แล้ว \(bc=0\), ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ b,c ต้องมาจาก \(-1,1,2\).
ดังนั้นวิธีที่ det=0 จะเกิดเมื่อไม่มี 0 เท่านั้น. จำนวนวิธีคือ 16.
4. หาความน่าจะเป็น:
วิธีเลือก 4 ตัวจาก 5 ตัว: 5 วิธี. วิธีเรียง 4 ตัว: \(4!=24\). วิธีทั้งหมด \(5 \times 24 = 120\).
วิธีที่ det=0: เกิดจากชุด \(\{-2,-1,1,2\}\) เท่านั้น. มี 16 วิธี.
\(P(\text{เอกฐาน}) = \frac{16}{120} = \frac{2}{15}\).
\(P(\text{ไม่เอกฐาน}) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}\).